Государственнаясистема обеспечения единства
измерений
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ФИЗИЧЕСКИМИ
ВЕЛИЧИНАМИ ПРИ РЕШЕНИИ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Основныеположения
ГОССТАНДАРТ РОССИИ
Москва
Предисловие
1 РАЗРАБОТАНЫ И ВНЕСЕНЫ Российским Центром испытаний и сертификации -Москва (РОСТЕСТ — Москва) Госстандарта России
2 ПРИНЯТЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 17июля 2000 г. № 191-ст
3 ВВЕДЕНЫВПЕРВЫЕ
СОДЕРЖАНИЕ
1 Область применения. 2
2 Нормативные ссылки. 2
3 Определения. 2
4 Общие положения. 2
5 Размерностная идентификация. 4
6 Структурно-параметрическая идентификация. 5
Приложение А. Критерии идентификации. 8
Приложение Б. Пример идентификации регрессионной Монтаж отопления. 10
Приложение в.Сравнительный анализ метрологического качествамоделей функций преобразования средств измерений. 10
Приложение г. Библиография. 13
Р 50.2.004-2000
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕТРОЛОГИИ
Государственная система обеспечения единства измерений
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУФИЗИЧЕСКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ ПРИ РЕШЕНИИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Основные положения
Дата введения 2000-08-01
1Область применения
Настоящие рекомендацииустанавливают основные принципы определения характеристик математическихмоделей зависимостей между физическими величинами при решении измерительныхзадач.
Настоящие рекомендациираспространяются на процедуры установления количественного соответствия междуфизическими объектами и их математическими моделями в сфере государственногометрологического контроля и надзора. Рекомендации также распространяются наиспользуемые при этом математическое обеспечение, вычислительные и программныесредства, в том числе поставляемые отдельно, Монтаж которых документированыпроизводителем или разработчиком.
2 Нормативные ссылки
В настоящих рекомендацияхиспользованы ссылки на следующие стандарты:
ГОСТ22.2.04-97/ГОСТР 22.2.04-94 Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Техногенные аварии икатастрофы. Метрологическое обеспечение контроля состояния сложных техническихсистем. Основные положения и правила
ГОСТ Р 8.563-96 Государственнаясистема обеспечения единства измерений. Методики выполнения измерений
3 Определения
3.1 В настоящих рекомендацияхприменяют следующие термины с соответствующими определениями:
математическая модельобъекта измерений: Математическая модель зависимости между физическими величинами,характеризующими свойства объекта измерений.
измерительная задача: Задача установленияколичественного соответствия между свойствами физического объекта ихарактеристиками его математической Монтаж отопления в данных условиях с требуемойточностью на основе принятых систем счисления и мер физических величин.
метод решения измерительнойзадачи: Совокупностьметодов воспроизведения физических величин, измерений и вычислений дляполучения искомого в измерительной задаче результата.
погрешность неадекватности(математической Монтаж отопления объекта измерений): Величина, характеризующая разность расчетногозначения данной физической величины как переменной математической Монтаж отопленияобъекта измерений и результата ее независимого измерения в соответствующихрасчету условиях.
4 Общие положения
4.1 Свойства физическихобъектов как объектов измерений (далее — объекты) количественно выражаютодноименными характеристиками их математических моделей (далее — Монтаж отопления).Монтаж отопления зависимостей между физическими величинами следует характеризовать:
— множествами X = {Хq : q= } входных и Y ={Yp : р = } выходных переменных — физических величин, выражающихпричинно-следственные отношения между свойствами объекта (в вероятностныхмоделях выходные переменные допускается рассматривать в качестве входных поотношению к вероятностным характеристикам);
— множеством Θ ={θm : т = } параметров (числовых коэффициентов);
— структурой аналитическоговыражения Ф (Θ; X)зависимости расчетного значения выходной переменной Yp от выходных переменных илидвоичным кодом структуры заданной Монтаж отоплениямаксимальной сложности, описывающей класс моделей;
— функцией погрешности Еp(X) — распределениемвероятностей разности расчетного Ф (Θ; X) иопорного p значений переменной Yp как функцией опорных значений входных переменных вдиапазонах их изменения.
Модель считают известной,если определены ее структура, значения параметров и размерность переменных.
4.2 Монтаж отопления, Монтаж которыхустанавливают в ходе решения измерительной задачи, называют интерпретирующими.Такие Монтаж отопления, как правило, линейны по параметрам относительно системы известныхбазисных функций Ψ(*), в том числе ортогональных полиномов:
— в виде функции многихпеременных
Ф (Θ; X)≡ Yp(Θ; X) =
— в виде дифференциальногооператора (уравнения)
Ф (Θ; Y, Y(1), …, Y(ω),…, Y(Ω)) ≡
4.3 В качестве опорных значенийфизических величин следует принимать их истинные или действительные значения.Истинное значение физической величины является расчетным в рамках строгойфизической теории, константы которой определены по данным измерений первичнымиэталонами поверочной схемы. Действительное значение физической величиныявляется результатом ее измерения эталоном такого уровня поверочной схемы, прикотором различием действительного и истинного значений в данной измерительнойзадаче можно пренебречь.
4.4 Погрешности моделейподразделяют:
— по источникам — наразмерностно-неопределенную DNR (X) (погрешности результатов измерений, использованных для идентификацииМонтаж отопления), структурно-неопределенную DNS (X) (погрешностинеадекватности, зависящие от структуры Монтаж отопления) и параметрически-неопределенную DNP (X) (погрешностинеадекватности, зависящие от выбора значений параметров Монтаж отопления, в том числе отограничений разрядности представления чисел, прерывания вычислительныхпроцессов и др., которые согласно ГОСТ Р 8.563 и ГОСТ22.2.04/ГОСТР 22.2.04 относят к методическим погрешностям) составляющие;
— по типу математическогоописания — на систематическую (ее описывают однозначно, и она может бытьиспользована в качестве поправки) и случайную (ее описывают распределениемвероятностей как наиболее полной характеристикой неопределенности)составляющие.
4.5 Постановка измерительнойзадачи должна содержать следующее:
а) указание объекта иУстановка его Монтаж отопления, в том числе области определения и априорных значенийнеопределяемых параметров или переменных;
б) определение условийизмерений (характеристик влияющих величин Z = {Zk : k = }, доступности переменных Монтаж отопления изменениям и измерениям);
в) формулировку цели задачив терминах характеристик Монтаж отопления объекта;
г) требования к форме представленияи точности искомого результата.
4.6 Измерительные задачи(далее — задачи) подразделяют:
— по направленности процедурустановления количественного соответствия между свойствами физического объектаи характеристиками его математической Монтаж отопления — на задачи идентификации и задачивоспроизведения;
— по типам используемыхматематических моделей — на динамические (операторные Монтаж отопления), статические(функциональные Монтаж отопления) и вероятностно-статистические задачи;
— по целям — наразмерностные (связанные с переменными) и структурно-параметрические (связанныесо структурой и параметрами) задачи;
— по статусу — на прикладные(с использованием рабочих средств измерений) и метрологические (сиспользованием эталонов) задачи.
Размерностные задачиподразделяют по видам измерений (родам физических величин или поверочнымсхемам, в рамках которых определяют погрешности искомых результатов).Структурно-параметрические задачи по степени априорной неопределенности условийрешения подразделяют на начальные (структура Монтаж отопления не задана),структурно-неопределенные (структура Монтаж отопления задана с точностью до классамоделей) и параметрически-неопределенные (модель задана с точностью допараметров) задачи.
4.7 Основными методамирешения размерностных задач являются методы прямых, косвенных и совокупных измерений, а такжепрямого и косвенного воспроизведения. Структурно-параметрический метод (методсовместных измерений), а также методы программного изменения, параметрическойкомпенсации и структурного дополнения являются соответственно методамиидентификации и воспроизведения зависимостей. Они определяют типы методикрешения измерительных задач (методики выполнения измерений по ГОСТ Р 8.563 -это методики косвенных измерений).
4.8 При размерностнойидентификации определяют значения переменных, а при структурно-параметрическойидентификации — структуру и значения или только значения параметров моделейобъектов измерений.
5 Размерностная идентификация
5.1 Если по условиям измерительнойзадачи свойство объекта, выражаемое искомой переменной его Монтаж отопления, доступносравнению с мерой соответствующей физической величины с требуемой точностью темили иным способом (методом замещения, дополнения, дифференциальным и др.), точисловой результат такого сравнения округляют до разряда, соответствующегомладшему разряду числового выражения пределов допускаемой при этом погрешности,с указанием этих пределов и доверительной вероятности (при единичнойдоверительной вероятности ее значение в результате решения задачи неуказывают). Такой метод решения измерительной задачи называют методомпрямого измерения (далее — измерением).
5.2 Если искомой визмерительной задаче является выходная переменная известной Монтаж отопления объекта, аизмерениям доступны ее входные переменные, то в статическом случае задачурешают следующим методом: измеряют входные переменные, затем подставляютполученные данные в уравнение связи и вычисляют значение выходной переменной,округляя результат с учетом характеристик погрешностей измерений инеадекватности Монтаж отопления. Такой метод решения измерительной задачи называют методомкосвенного измерения.
5.3 Если искомыми визмерительной задаче являются входные переменные Монтаж отопления объекта, а измерениям доступнывыходные переменные, связанные с ними известными функциями ур=Фp(Θ; x1, …, xq, …,xq), p= , то в статическом случае решение задачи при Р = Q сводятк измерению выходных переменных с последующим решением системы уравнений
Фp(Θ; x1, …, xq, …,xq) =, p = , (1)
относительно входных переменных и определением характеристикпогрешности результата с учетом погрешностей измерений, погрешностейнеадекватности Монтаж отопления и погрешностей решения системы уравнений. При Р > Qиспользуют методы наименьших квадратов (МНК) или модулей (МНМ) и другиевычислительные процедуры. Такой метод решения измерительной задачи называют методомсовокупныхизмерений.
5.4 В динамических задачахприменение метода косвенных измерений требует решения соответствующихдифференциальных уравнений, а применение метода совокупных измерений — решениясоответствующих интегральных уравнений относительно искомых переменных.
6 Структурно-параметрическая идентификация
6.1Структурно-параметрическая идентификация Монтаж отопления объекта измерений илиидентификация интерпретирующей Монтаж отопления по переменной Yp предусматривает построениеее систематической составляющей Ф(Θ; X)(Монтаж положения, смещения) и случайной составляющей Еp(X) (распределения погрешностей) как случайной функции входных переменных.При этом оптимальность Монтаж отопления следует характеризовать с учетом критериев,приведенных в приложении А.
6.2 Апостериорно погрешностинеадекватности интерпретирующей Монтаж отопления определяют как погрешности экстраполяциирасчетных значений ее выходной переменной на неиспользуемые для определенияпараметров Монтаж отопления данные эталонных измерений выходной переменной присоответствующих значениях входных переменных. Порядок использования данных,согласно которому параметры Монтаж отопления определяют по одной части данных (пробной),а погрешности Монтаж отопления — по другой части (контрольной), с последующимчередованием частей и объединением результатов, называют схемой перекрестногонаблюдения погрешностей неадекватности. Такой метод идентификацииинтерпретирующих моделей объектов измерений по критериям приложения Аназывают методом максимума компактности (ММК).
6.3 Идентификациюинтерпретирующих моделей осуществляют по данным совместных измерений ивариантам структуры, которые задают моделью максимальной сложности, приведеннойк структурированному виду
Ф(Θ; X)≡
Ф(Θ; Y, Y(1), …, Y(ω),…, Y(Ω), X) ≡
где — двоичный кодструктуры.
При этом структурированныйвид определяют соглашением о суммировании:
а) каждый компонентструктуры Монтаж отопления дополняют сомножителем в виде двоичной индикаторной функции r,r = , с индексом параметра, состоящим из степеней переменных I … J … К;
б) совокупность двоичныхиндикаторных функций = R… r… 1 образует код структуры Монтаж отопления — R-разрядное двоичное число,разряды которого соответствуют порядковому положению параметров Монтаж отопления (прямойкод — от старших степеней к младшим, обратный ’ — наоборот);
в) компоненты Монтаж отопления суммируютгруппами (первую образуют компоненты, зависящие от степеней только однойпеременной; вторую — компоненты, зависящие от степеней пар переменных; третью -от степеней троек и т.д.), упорядоченными по номерам переменных подгруппами;
г) порядок формированиявариантов структуры Монтаж отопления определяется последовательностью кодов (полныйперебор вариантов структуры или сокращенный по какому-либо критерию оптимизации- последовательное усложнение или упрощение структуры).
6.4 Если структураинтерпретирующей Монтаж отопления задана, а ее переменные доступны измерениям иизменениям, то параметры Монтаж отопления при их числе М = N определяют как решениесистемы уравнений
где N — число совместных измерений всех переменныхМонтаж отопления объекта.
При М < N параметры Монтаж отопленияопределяют как результат минимизации функционалов случайной составляющейпогрешности неадекватности:
(2)
Для S = 2 в формуле (2) получаемыеоценки систематической составляющей Монтаж отопления объекта являются оценками МНК, а дляS = 1 — оценками МНМ. Допускаются и другие методыпараметрической идентификации.
6.5 Если структураинтерпретирующей Монтаж отопления известна с точностью до Монтаж отопления максимальной сложности,то ее идентификацию осуществляют последовательной минимизацией погрешностинеадекватности в схеме перекрестного наблюдения путем выбора кода структуры,метода определения параметров и правила сегментации данных.
При этом относительноМонтаж положения интерпретирующей Монтаж отопления проверяют систему нулевыхгипотез: Н0 -вырожденности (отсутствия зависимости); Н00- непрерывности; Н000 -композиционной однородности (единой Монтаж отопления для ансамбля серий данных совместныхизмерений).
6.6 В схеме перекрестногонаблюдения Монтаж погрешности неадекватности Монтаж отопления Ф (Θ; X)определяют с помощью экстраполяционного функционала Монтаж отопления по выходнойпеременной
где М — число параметров Монтаж отопления;
кХm- т-я частьподпространства входных переменных, используемая в качестве контрольной(контрольное окно);
пΘm — множество параметровМонтаж отопления, определенное по данным, принадлежащим пробной части пХm = X\\кХm;
П(кХm; Х) =
— индикаторная функцияконтрольного окна.
6.7 Отклонениядействительных значений выходной переменной Монтаж отопления относительно ееэкстраполяционного функционала представляют собой данные о действительныхзначениях погрешности Монтаж отопления.
В качестве оценки точности интерпретирующейМонтаж отопления следует использовать средний модуль погрешности неадекватности (СМПН)Монтаж отопления
(4)
где R — объем данных в схемеперекрестного наблюдения;
в качестве оценкиправильности — среднюю не исключенную систематическую составляющую погрешностинеадекватности
(5)
в качестве оценки сходимости- средний модуль случайной составляющей погрешности неадекватности как среднееабсолютное отклонение (САО)
где Θ — множествопараметров, определенное по всем данным .
6.8Структурно-параметрическая идентификация Монтаж положенияинтерпретирующей Монтаж отопления основана на проверке системы нулевых гипотез Н0, Н00 и Н000,а также альтернативных гипотез соответственно о наличии функциональнойзависимости, о ее кусочно-непрерывном характере (наличии «разладок» — разрывовпервого рода, включая производные) и о существовании индивидуальныхинтерпретирующих моделей для компонентов ансамбля серий данных измерений.
6.9 Припроверке гипотезы Н0выполняют следующие действия:
— делят протокол результатовсовместных измерений на блоки таким образом, чтобы числоблоков было больше числа параметров данной структуры Монтаж отопления на единицу;
— формируют все сочетания Мблоков как пробной выборки данных {} и оставшегося блока как контрольной выборки {} (окна);
— минимизируют функционалывида (2)на пробных выборках и вычисляют функционалы вида (4) на контрольных выборках.
В качестве наиболееправдоподобной непрерывной Монтаж отопления принимают модель с наименьшим значением СМПН.Затем с использованием всего протокола данных измерений окончательно определяютпараметры Монтаж отопления оптимальной структуры — ММК-Монтаж отопления. При этом допускаетсяиспользование функционалов (4) или (5) в зависимости от постановки задачи.
6.10Гипотезу Н00 проверяютметодом «скользящей границы», повторяя решение задачи описанным в 6.9 способом по обе стороныграницы с вычислением для каждого положения границы средневзвешенного по числуизмерений СМПН кусочно-непрерывной Монтаж отопления. Гипотезу непрерывности Н00 отклоняют, если будетнайдена такая кусочно-непрерывная модель, средневзвешенный СМПН которой будетменьше значения СМПН наиболее правдоподобной непрерывной Монтаж отопления.
6.11 Композиционнуюидентификацию Монтаж положения Монтаж отопления (проверку гипотезы Н000) осуществляют посовокупности протоколов измерений путем последовательной кластеризации ансамбляданных и построения для каждого из них ММК-Монтаж отопления согласно 6.9 и 6.10.
6.12 При определениипараметров Монтаж отопления могут быть использованы МНК или МНМ. Соответствующиеалгоритмы ММК-идентификации имеют обозначения ММКМНК и ММКМНМ, аинтерполяционный вариант ММКМНМ, когда в качестве узлов интерполяции назначаютвыборочные медианы, — ММКМЕДС. В этих алгоритмах перебор вариантов структурыосуществляют методом последовательного усложнения в соответствии с соглашениемо суммировании.
6.13 Идентификациюраспределения погрешностей неадекватности интерпретирующей Монтаж отопления осуществляютпутем проверки гипотез о структуре описывающего их распределения вероятностейпо критерию, приведенному в приложении А при обеспечении условияэргодичности.
6.14 Условие эргодичностиобеспечивают следующим образом:
— данные протокола измеренийвыходной переменной Монтаж отопления с кодом структуры центрируют ееэкстраполяционным функционалом;
— отклонения этих данных отэкстраполяционного функционала Монтаж отопления рассматривают в качестве погрешностейнеадекватности;
— для последовательностейположительных и отрицательных погрешностей неадекватности Монтаж отопления согласно 6.9, 6.10строят характеристику положения (СМПН для ММКМНК или квартальные Монтаждля ММКМНМ и ММКМЕДС), которая является характеристикой масштаба;
— последовательностиположительных и отрицательных погрешностей неадекватности Монтаж отопления нормируютхарактеристикой масштаба.
6.15 Для нормированныхположительных и отрицательных погрешностей неадекватности, как реализаций одинаковораспределенных случайных величин, по критерию воспроизводимости проверяютгипотезу о структуре распределения вероятностей. В качестве наиболееправдоподобной принимают структуру распределения с наибольшей статистикойкритерия воспроизводимости (приложение А). Соответствующие алгоритмыММК обозначают как ММКМП. При этом полученное распределение путем обратногопреобразования характеристиками масштаба и положения приводят к характеристикеположения интерпретирующей Монтаж отопления.
6.16 Окончательно функциюпогрешности математической Монтаж отопления зависимости между физическими величинамипредставляют суммой размерностно-неопределенной DNR(X), структурно-неопределеннойDNS(X) ипараметрически-неопределенной DNP (X) составляющих:
Ep(X) = DNS(X)+ DNP(X)+ DNR(X).
Для функции погрешности вметрологических измерительных задачах устанавливают вероятностныеМонтаж (для принятого определения вероятности — аксиоматического,частотного, субъективного, интерполяционного и др.), а также соответствующиестатистические Монтаж в виде интервальных или точечных оценок какфункций входных переменных Монтаж отопления. Для экспертных оценок этих характеристик(субъективные вероятности) следует различать метрические и порядковые шкалы.
При этом в методиках решенияприкладных измерительных задач размерностной идентификации учитывают требованияГОСТ Р 8.563.
ПРИЛОЖЕНИЕА
(обязательное)
Критерииидентификации
Критерием идентификацииинтерпретирующей Монтаж отопления, согласно теореме о модульном критерии (мю-критерий),является минимум математического ожидания ее смещения относительно результатовизмерений выходной переменной контрольной выборки в схеме перекрестного наблюдения[1]- [3].
Если функция распределениявероятностей Fx(x) случайнойпеременной X такова, что x · Fx(x) = 0, то для Монтаж положения θсправедливо
M|X- θ|≡ M|X- θ|+2 (A.1)
Следствие. Тождество (А.1)минимизируется медианой, так как
Критерием идентификацииплотности распределения вероятностей f(х)переменной X является максимум показателя ее воспроизводимости
(A.2)
где fп(x) и fк(x) — оценки плотности f(x)на пробной и контрольной выборках схемы перекрестного наблюдения (лемма о каппа-критерии [4] — [6]).
Если равенство плотностейраспределений вероятностей fп(x) и fк(x) (рисунок А.1,соответственно кривые 1 и2) случайнойпеременной X достигается в единственной точке x0, to показатель воспроизводимости(А.2)
(A.3)
где D(x) = Fп(x) — Fк(x) — разность для функцийраспределений вероятностей.
Следствие: Корням хт, т= уравнения fп(x) и fк(x) соответствуют экстремумыразности D(x), aтождество (А.3) принимает вид (рисунок А.2)
Рисунок А.1
Рисунок А.2
ПРИЛОЖЕНИЕБ
(справочное)
Пример идентификации регрессионной Монтаж отопления
ВозможностиММК-идентификации [7] — [14] математических моделейобъектов продемонстрируем на данных [15] примера (таблица Б.1)параметрической идентификации регрессионной Монтаж отопления
где e — случайная величина,имитируемая датчиком «случайных» чисел, в условиях мультиколлинеарности, когдаопределитель информационной матрицы, соответствующей системе нормальныхуравнений МНК, стремится к нулю (в данном случае он составляет £1,03 · 10-19).
ТаблицаБ.1 — Выход химической реакции упри времени реакции x1 и температуре x2
Номеропыта
x1, мин
x2, °С
y, %
Номер опыта
x1, мин
x2, °С
y, %
1
112
201
59,50
6
120
206
52,46
2
93
202
81,34
7
126
207
49,68
3
115
203
59,57
8
90
208
85,57
4
104
204
70,59
9
97
209
77,59
5
99
205
76,88
10
109
210
65,14
В этих условиях МНК со схемой Гаусса дает модель с САО < 0,735:
(х1,х2) =-3464,336192 — 3,135112608 · х1 + 36,33886729 · х2 + 1,27819556 · 10-2· х1х2 — 2,52413806 · 10-3 · — 9,12046229 ·10-2 · х.
Если же рассмотреть эту задачукак структурно-неопределенную и принять в качестве Монтаж отопления максимальнойсложности
у (х1, x2)= A + Bx1 + Cx2 + Dx1x2 + E + Fх,
то алгоритмыММК-идентификации дадут модель (указан СМПН ± )
MMKMHK(x1; х2) = -3941,1650 — 1,0450677×1 + 39,934086×2 — 0,096740127х ± 0,804.
Результаты перебора вариантовструктуры (Z = A B C D E F) даны в таблице Б.2. Иханализ показывает, что использованный для имитации датчик псевдослучайных чиселимеет смещение, а результаты идентификации полной Монтаж отопления обладают существеннойструктурно-неопределенной составляющей погрешности неадекватности. Лучший жерезультат, выделенный в таблице Б.2, остался для авторов [15]ненаблюдаемым.
Таблица Б.2 — СМПН ММКМНК- иММКМЕДС-моделей
Z
Гипотеза
H0(Z)
H0(AZ)
H0(ABZ)
H0(ABCZ)
H0(ABCDZ)
H0(ABCDEZ)
ММКМНК
ММКМЕДС
ММКМНК
ММКМЕДС
ММКМНК
ММКМЕДС
ММКМНК
ММКМЕДС
ММКМНК
ММКМЕДС
ММКМНК
ММКМЕДС
А
14,73
15,75
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
В
23,87
25,63
0,985
6,47
—
—
—
—
—
—
—
—
С
15,07
16,60
21,14
78,40
2,10
3,10
—
—
—
—
—
—
D
24,53
25,63
2,82
42,37
1,91
3,22
1,71
3,28
—
—
—
—
Е
33,24
36,04
1,45
5,95
1,25
5,23
1,35
1,17
1,89
5,02
—
—
F
15,89
17,60
21,22
78,41
2,11
3,10
0,804
0,806
2,19
6,15
3,16
29,37
ПРИЛОЖЕНИЕВ
(справочное)
Сравнительный анализ метрологического качествамоделей функций преобразования средств измерений
В.1 При градуировкевольтметра переменного тока [16] в пяти точках диапазона напряжение навходе (Xi = 0,2iВ, i = ) устанавливали с погрешностью <0,002 %, а на выходе -измеряли ni-кратно в каждой точке спогрешностью <0,005 %. Затем определяли средние арифметическое иквадратическое отсчетов (таблица В.1). По этим данным методом взвешенныхнаименьших квадратов (МВНК) с весовыми коэффициентами ωi = ni/Si2 получена функцияпреобразования
bX= 1,00004X.
ТаблицаВ.1 — Данныеградуировки
i
хi, в
ni
i, в
Si2 1010, В2
i, B
Di 105, В
Dммкмнкi 105, В
1
0,2
25
0,199946
8,55
0,200008
-6,2
0,1
2
0,4
25
0,400023
4,46
0,400017
0,6
-0,3
3
0,6
25
0,600071
4,31
0,600026
4,5
0,5
4
0,8
25
0,800062
2,82
0,800035
2,7
-0,3
5
1,0
50
1,000024
2,72
1,000044
-2,0
0,2
Сравнительный анализ различных вариантов (таблица В.2)построения функции преобразования по данным таблицы В.1 показывает, что по СМПН полученная с помощьюМВНК модель функции преобразования более чем в 2раза уступает Монтаж отопления, полученной с помощью ММКМНК.
ТаблицаВ.2 — ДанныеММК-идентификации функции преобразования
Алгоритмидентификации
ммкмнк
ММКМЕДС
Код
01
111
01
111
СМПН
0,000033
0,000015
0,000032
0,000026
Оценки параметров в соответствии скодом
1,000052
-1.787195 · 10-4
1,000720
-5,18833 · 10-4
1,000053
-1,733004 · 10-4
1,000723
-5,334619 · 10-4
Учитывая неравноточность измерений, примем в качестве обобщеннойМонтаж точности полученных вариантов функции преобразованиясоответствующие значения функции правдоподобия (таблица В.3) дляраспределений Гаусса с параметрами .
Очевидно, что в данномпримере алгоритм МВНК не может быть принят для получения оценок,соответствующих максимуму правдоподобия.
Вместе с тем, авторомпримера [17]с точки зрения выбора алгоритма высокой точности допущен ряд ошибок,оставленных без исправления в [16].
Градуировочнаяхарактеристика — это функция, обратная функции преобразования. Она позволяетпересчитывать показания средства измерений в значение измеряемой физическойвеличины [18].
ТаблицаВ.3 — Критериимаксимального правдоподобия для функций преобразования вольтметра
Данныепервичной обработки
i
, B
1010, В2
МВНК
ММКМНК
ММКМЕДС
1
0,199946
8,55
1440,964664
13626,19449
13518,92125
2
0,400023
4,46
17880,74677
18666,84530
17722,33946
3
0,600071
4,31
1481,592746
18766,77243
19072,33400
4
0,800062
2,82
4816,842014
23330,50531
23637,51793
5
1,000024
2,72
15109,5573
24075,46676
21653,25886
2,7783181 · 1018
2,68122931 · 1021
2,33879454 · 1021
В примере не уточнена форма выражения погрешностей — относительная илиприведенная. Кроме того, не ясны требования к точности градуировки вольтметра. Ограниченыли они пределом допускаемой (относительной или приведенной) погрешностиизмерений выходного напряжения, т.е. 0,005 %? Поэтому дальнейший анализточности был проведен для верхней границы диапазона градуировки.
Указанное в примерекритическое значение (21 · 10-5) для отклонения оценки коэффициентапреобразования b от номинального значения припроверке гипотезы о его значимости не соответствует указанному в примередля данного средства измерений пределу допускаемой погрешности (0,005 %→ 5 · 10-5).На верхней границе диапазона это соответствует превышению предела допускаемойпогрешности более чем в 4 раза даже без учета погрешностей рабочего эталона.
Принятый в примере методградуировки для предела допускаемой погрешности 0,005 % является неудовлетворительнымуже только из-за составляющей погрешности, обусловленной построением функциипреобразования. В точке i = 1 эта погрешность выходит зауказанные пределы.
С учетом перечисленныхобстоятельств в предпоследней колонке таблицы В.1 даны отклонения расчетныхзначений функции преобразования, построенной с помощью МВНК, от среднихзначений данных измерений в точках градуировки. В последней колонке даныаналогичные отклонения для функции преобразования, построенной с помощьюММКМНК.
В.2 При градуировкеизмерительного термопреобразователя ТЭМ-1 (с помощью потенциометра Р348 класса0,002, резистора Р321 класса 0,01 и нормального элемента класса 0,005) на еговходе устанавливали значения переменного тока (Xi = 0,3i мА, i = ), а на выходе проводили однократные измерения напряжения ( мВ, i = ) [16]. По этим данным (таблица В.4)методом последовательных приближений [19] была построена функцияпреобразования = аХ2 + bX3, где а = 0,016260, b= -9 · 10-7.
Сравнительный анализразличных вариантов построения функции преобразования по данным таблицы В.4(1-я и 2-я колонки) показывает, что по СМПН полученная с помощьюметода последовательных приближений на основе обычного МНК модель функциипреобразования (3-я и 4-я колонки) более чем на порядок уступает моделям,полученным с помощью ММКМНК (5-я колонка) и ММКМЕДС (6-я колонка):
= 4,843207 · 10-4 +1,461683 · 10-4x + 1,623274· 10-2×2 — 1,771827 · 10-13×7, = 2,1 · 10-4,
= 8,3113555 · 10-4 +1,6244039 · 10-2×2 — 1,2637424 · 10-8×4, = 1,1 · 10-4.
При этом следует заметить,что ММКМНК для Монтаж отопления с кодом структуры = 0011 дает 0011 = 1,2 · 10-3, а с кодом = 1011 — уже 1011 = 4,5 · 10-4.
ТаблицаВ.4 — Данныеградуировки термопреобразователя ТЭМ-1
Xi, мА
, мВ
Yi= a · X + b ·X
Di, мВ
, мВ
, мВ
3
0,1471
0,1463
0,0008
0,000083
0,0000735
6
0,5856
0,5852
0,0004
-0,000140
-0,00000016
9
1,3167
1,3164
0,0003
0,000049
0,000185
12
2,3397
2,3393
0,0004
-0,000047
-0,0000107
15
3,6551
3,6555
-0,0004
0,000087
-0,00000014
18
5,2624
5,2630
-0,0006
-0,000015
-0,000173
21
7,1618
7,1623
-0,0005
-0,000073
-0,000195
24
9,3534
9,3533
0,0001
0,000162
0,000195
27
11,8361
11,8359
0,0002
-0,000145
0,0000805
30
14,6105
14,6097
0,0008
0,000040
0,000270
ПРИЛОЖЕНИЕГ
(справочное)
Библиография
[1]Вопросы кибернетики. ВК-94. Статистическиеметоды в теории обеспечения эксплуатации. — М.: АН СССР, 1982
[2] Левин С.Ф. Основы теории контроля. — М.: МО СССР, 1983
[3] Левин С.Ф., Блинов А.П. Научно-методическое обеспечениегарантированности решения метрологических задач вероятностно-статистическимиметодами // Измерительная техника. — 1988. — № 12
[4] Левин С.Ф. Математическая теория измерительных задач //Контрольно-измерительные приборы и системы. — 1999: № 2 — 5. — 2000: № 1
[5] Левин С.Ф. Метрологическое аттестование и сопровождение программныхсредств статистической обработки результатов измерений // Измерительнаятехника. — 1991. — № 12
[6] Левин С.Ф., Баранов А.Н., Веретенин Д.А., ХаледХ.М. Оценивание характеристик достоверности прогнозирующего контроля вавтоматизированных системах метрологического сопровождения // Измерительнаятехника. — 1991. — № 12
[7] Левин С.Ф. Метод максимума компактности и комплексные измерительныезадачи // Измерительная техника. — 1995. — № 7
[8] Блинов А.П., Веретенин Д.А. Особенности функционального наполненияпакета прикладных программ метода максимума компактности // Измерительнаятехника. — 1991. — № 12
[9] Шабанов П.Г. Использование методов идентификации для оценкиметрологических характеристик меры напряжения Джозефсона // Измерительнаятехника. — 1991. — № 12
[10] Левин С.Ф., Маркова Е.В. Планирование испытаний при метрологическоматтестовании программного обеспечения статистической обработки данных //Измерительная техника. — 1995. — № 6
[11] Левин С.Ф., Маркова Е.В., Пособило В.А. Системы метрологическогосопровождения измерительных задач // Контрольно-измерительные приборы исистемы. — 1997. — № 4
[12] Левин С.Ф. Метрологическое качество программных средств обработкирезультатов измерений // Контрольно-измерительные приборы и системы. — 1997. -№ 6
[13] Левин С.Ф., Мигачев Б.С. Задача выбора точек измерительногоконтроля средств измерений // Измерительная техника. — 1998. — № 9
[14] Левин С.Ф., Лисенков А.Н., Сенько О.В., ХаратьянЕ.И. Система метрологического сопровождения статических измерительных задач«ММК-стат М». Руководство пользователя. — М.: Госстандарт России, ВЦ РАН, 1998
[15] Вучков И.Н., Бояджиева Л.Н., Солаков Е.Б. Прикладной линейныйрегрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1987
[16] Семенов Л.А., Сирая Т.Н. Методы построения градуировочныххарактеристик средств измерений. — М.: Изд-во стандартов, 1986
[17] Таубе Б.С. Разработка и исследование методов и средств высокойточности для автоматического измерения действующего и среднего значенияпеременного напряжения. Автореферат канд. диссертации, 1972
[18] Блинов А.П. Построение градуировочных характеристик средствизмерений методом максимума компактности // Измерительная техника. — 1987. — №7
[19] Безикович А.Я., Гравии О.Н. Исследование воздушных многоэлементныхтермопреобразователей // Тр. метрологич. ин-тов СССР. — 1965. — Вып. 82 (142)
Ключевые слова: объект измерений,математическая модель, погрешности неадекватности, размерностная идентификация,модульный критерий, критерий воспроизводимости, структурно-параметрическаяидентификация
Услуги по монтажу отопления водоснабжения
ООО ДИЗАЙН ПРЕСТИЖ 8(495)744-67-74
Кроме быстрого и качественного ремонта труб отопления, оказываем профессиональный монтаж систем отопления под ключ. На нашей странице по тематике отопления > resant.ru/otoplenie-doma.html < можно посмотреть и ознакомиться с примерами наших работ. Но более точно, по стоимости работ и оборудования лучше уточнить у инженера.
Для связи используйте контактный телефон ООО ДИЗАЙН ПРЕСТИЖ 8(495) 744-67-74, на который можно звонить круглосуточно.
Отопление от ООО ДИЗАЙН ПРЕСТИЖ Вид: водяное тут > resant.ru/otoplenie-dachi.html
Обратите внимание
Наша компания ООО ДИЗАЙН ПРЕСТИЖ входит в состав некоммерческой организации АНО МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ КОЛЛЕГИЯ СУДЕБНЫХ ЭКСПЕРТОВ. Мы так же оказываем услуги по независимой строительной технической эесаертизе.